空间计算：弦与差的纠结形式

1.地图就是领土

围绕着“地图不是领土”和“地图是领土”这两个关键短语展开了全面的讨论。这个地图领土关系有一个维基百科条目，我们在其中找到了以下相关引文。

1931年，阿尔弗雷德·科尔兹布斯基在路易斯安那州新奥尔良举行的美国科学促进协会会议上发表的一篇论文中首次出现了“地图不是领土”的说法：

A） 地图的结构可能与领土的结构相似或不同，

B） 地图不是领土。

科尔兹布斯基的格言“地图不是领土”是[…]用来表示个人事实上通常没有获得对现实的绝对知识，但事实上只有获得一套他们随着时间的推移建立起来的关于现实的信仰。因此，重要的是要意识到，人们对现实的信仰和对事物的认识（“地图”）不是现实本身，也不是他们能够意识到的一切（“领土”）

在这里，受贝特森（见补充材料）的启发，我从数学的角度探讨了地图和领土之间没有区别的观点，相反，通过使用下面所示的一种类型的缠结图，可以理解地图和领土之间的转换。

右边的图形，用“x”装饰的弧线自动闭合，起着特殊的作用。对于这些图表，我将使用“地点”或“chora”这个名字，灵感来自柏拉图的《提摩太书》中关于空间、地点或chora的讨论（见关于这段对话的补充材料）。

更准确地说，我们可以想象，对该领土的探索为我们提供了一个地图集，一组地图，在数学上被理解为一系列两种运算（见下文“涌现代数”）。下面是一个比右上一个更精确的数字。

装饰交叉口的“ε”代表地图的比例。在左图中，区域的点“v”由“地图空间”的“像素”u表示。

通过接受“地图是区域”，点x（以及另一点v和像素u）同时在地图上和区域中。上图左侧带装饰的交叉点表示区域（靠近x）的比例为ε的地图，这是一个函数，由δxε表示，它将u带到v。等效地，我们可以将这样的地图视为二进制操作，由ε表示，具有输入x和u以及输出v。我们通过代数关系来描述这一切：

v = x ◦ε u = δ x ε u

从区域到地图的逆变换或操作，由上一个图形右侧的装饰交叉描述。在代数上，我们写

u = x •ε v = δ x ε−1 v

想象一下，现在有一个复杂的图表，有许多交叉点，由各种比例参数装饰，以及由空间X的点装饰的线段，空间X被视为领土（要探索）和地图（它的）。在这样的图表中，约定地图区域只能是每个交叉口周围的局部区域。

不过，有一个图表可以明确地作为“在ε标度处（靠近）x的地方”的符号。

在这个图中，所有没有装饰的交叉口都有ε作为装饰，但是这个装饰可以明确地放置在闭合弧的装饰“x”附近。这样一张图的名称是“将（或弦）x放在标度ε处”。

还有另一个重要的图表，叫做“差异”。

事实上，一个点“w”从一个领土，是看到了两张地图。“地图1”表示围绕x绘制的区域地图。因此，在该地图中，点w由像素“v”表示

w = δ x ε v

在同一张地图中，选择另一个像素，用“u”表示。在该区域内，这与点δxεu相对应。但该点允许在其周围绘制地图，这是“地图2”。使用此地图，在像素∆x处可以看到与区域相同的点w ε（u，v）。

有一个函数将像素v（地图1中w的图像）取为像素∆xε（u，v），地图2中相同w的图像。此转换函数表示两个映射之间的差异。在代数术语中，这种差异有如下表达式：

∆x ε (u, v) = (x ◦ε u) •ε (x ◦ε v) = δ δ x ε u ε−1 δ x ε v

函数（u，v）7→∆xε（u，v）称为标度ε相对于x的差值。

2空间计算

什么是空间计算、模拟或理解？从几个来源汇集起来，这似乎是比现在所说的“计算”更原始的东西，这个东西从古代就一直伴随着我们，这与控制论和对视觉系统的理解有关。

它也可能有一些意想不到的应用。

我对模拟空间这门学科的兴趣来自于这样一个认识，即大多数微分学（物理学背景）都可以理解为一种构造和操作作为基本门（类似晶体管）的膨胀集合。然后，我扪心自问，用这种晶体管构成的计算机是什么？有关空间模拟思想的来源，请参见以下页面：

2.1带缠结的计算

基于缠结图操作的计算实际上是探索的基础，例如在考夫曼和洛莫纳科拓扑量子计算3中，它基本上是用编织物进行的计算，可以由任何人来实现（或不实现）。这种被称为量子的编织计算可以通过在中首次解释的编织形式与“空间模拟”相关。另见Meredith和Snyder最近的论文“节点作为过程：一种新的不变量”。Meredith正在致力于一种空间计算，见链接5

2.2作为范例的前端视觉系统中的计算

在数学中，“空间”有很多种味道。有向量空间，仿射空间，对称空间，群等等。我们通常把这样的物体作为推理情节的舞台。但事实上，在许多情况下，我们使用的是特定空间的属性，我声称，这些属性可以被视为来自一个特定的计算类。

尽管有一个“空间”是“给予”的，几乎是毋庸置疑的，即我们都生活的物理空间。但是关于对这个空间的感知，我们现在知道事情并不是那么简单。当我在Baixo Gavea写这些笔记的时候，我的眼睛被窗户附近一棵树的奇妙复杂性所吸引。树的性质对我来说是陌生的，就像树上或树周围生长的其他较小的生物一样。我可以有根据地猜测它们是什么：有些是兰花，还有一个较小的，迭代版本的大树。然而，在我大脑的某个地方，在一个非常基本的层面上，在我能够识别和命名我所看到的物体或存在物的阶段之前，可见的空间在我的大脑中被构建。我引用Koenderink，第126页：

“大脑可以通过与物理世界交互获得的信息来组织自己，成为几何的化身，它成为名副其实的几何引擎。[...]

也许有一点是这样的，即许多更为人所知的大脑过程最容易通过在大规模并行处理器阵列上运行的微分几何计算来理解，这些处理器阵列的节点是可以理解的

非常直接地用多线性算子（向量、张量等）来表示。在这个观点中，大脑的过程实际上是空间

本文从一般不变性原理出发，对“前端视觉系统”进行了研究。他们将“前端视觉系统”定义为“光场与最接近传导阶段的大脑部分之间的界面”。在解释了“界面的确切限制基本上是任意的”之后，作者提出了前端视觉系统的以下特征，第1节：

1前端是一个“机器”的意义上的句法变压器；

2没有语义。前端处理结构；

3.前端是预范畴的，因此在某种程度上，前端不计算任何东西；

4前端以自下而上的方式运行。基于语义解释的自上而下命令不被认为是前端的一部分；

5前端是一台确定性机器。。。所有的输出都依赖于过去的（总）输入。”

6“前端没有显式编码的内容将无法挽回地丢失。因此，前端应该是通用的（未指定的），并且应该提供显式的数据结构（以便支持前端的快速处理），而不牺牲完整性（所有潜在的重要内容）为了代理人的生存，他们必须以某种方式被代表

作者得出的结论是（大脑处理视觉的部分）是一个“几何引擎”，在许多基本电路的帮助下工作，这些电路实现了（视觉的离散化？）四阶偏导数微分学。我引用第1节最后一段，就在第1.1节开始之前。

“在局部表示中，一个人可以不用广泛的（即空间或几何）属性，而是用密集属性来表示一切。这样就不需要明确的几何知识。几何的局部表示是微分几何的典型工具。。。灵长类视觉皮层中的柱状表征结构正好表明了这种结构。”

所以，前端确实执行了一种计算，尽管是一种非常特殊的计算。乍一看，它不是一种逻辑的、布尔型的计算。我想这就是Koenderink和合著者想在第三点说的。前端视觉系统的特征。

我们可以想象，有一个抽象的数学“前端”，如果输入“空间”的定义，然后输出一个用于“过去处理”的“数据结构”，即用于该空间中的数学推理。（事实上，当我们说“让M是流形”时，例如，我们没有“拥有”这个流形，只有它的一些性质，以及一些关于“流形”宇宙中“合法”操纵的非常普遍的抽象的无稽之谈。所有这些都可以与我们经过“前端”的图像相提并论，在某种意义上，就像一个真实的感知图像一样，我们看到了所有的东西，但我们无法真正列举和命名我们看到的所有东西。）

更重要的是，我们可能认为，物理空间在某些非常基本的层面上可以理解为“通用前端”的输入，而物理观察者则是“通用前端”。也就是说，也许生物学在不同的尺度上使用了自然基本机制的体现。

因此，受生物学启发的观点是，观察者就像宇宙的前端一样，注视着同一个（但其他未知的）空间。有趣的是，这可能会将神经科学中的“局部符号”问题与理解物理空间的属性问题联系起来，因为物理空间是从一些非几何的、更基本的结构中产生的，比如网络、泡沫、图形。。。

事实上，在这项物理研究中，人们希望从一个非空间结构中获得空间的几何结构（例如，在宏观尺度上，它看起来像rn），“从远处看”（与Gromov在度量空间中所做的不同）。但事实上，大脑一直在这样做：从一类密集的数量（如视网膜神经元发出的电脉冲）前端视觉系统重建空间，就像我们看到的那样。它如何在没有“几何专家”的情况下完成，在神经科学中被称为“局部符号”或“homunculus”的问题。

本文提出了视觉中的“局部符号”问题与将空间作为一个非空间基质的突现现实来构建的问题之间的等价性。在这篇文章中，我把事情表述得更清楚，并提出了以下等价性：

（A） 现实是从一个更原始的、非几何的现实中产生的

以同样的方式

（B） 大脑构造（理解、模拟、转换、编码或解码）现实的图像，从密集的属性（如视网膜中的受体发送的一束脉冲信号）开始，而不使用任何广泛的（即空间或几何）属性。

问题（B）在生命科学中被称为“局部符号”问题。事实上，任何对广泛属性的使用都会导致“胡言乱语谬论”6

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这些等价的问题既困难又非常简单：

-我们不知道如何完全解决问题（A）（物理学）或问题（B）（神经科学），

-但是我们的腹侧/背侧溪流和小脑在大约150毫秒的时间里一直在这样做。此外，任何一只苍蝇都能做到这一点，从它惊人的飞行能力可以看出。

这个论点的核心是，由于布尔逻辑是基于一个原始门（如NAND），微分学和微分几何也是基于一个原始门（一个扩张门），自然出现在最不复杂的探索策略，一个双目生物可能有，也就是说，随机地从一个地方跳到另一个地方，用两只眼睛比较所看到的东西来确定自己的方向。

2.3探索空间

我将讨论探索未知领域的最简单策略。为此，我们派一位探险家四处看看。探险家将把X的部分做成X的图表，然后用这些图表来计划它的移动。

我假设我们可以在集合X上放置一个距离，即函数d:X×X→[0，+∞），它满足以下要求：对于任意三个点X，y，z∈X，平面上有一个与三个a，B，C的双射对应，使得AB，BC，AC的大小（长度）分别与d（X，y），d（y，z），d（z，X）相等。基本上，我们承认我们可以在平面上表示空间X的任何三个点。对距离d（X，y）的解释如下：探测器有一把尺子，d（X，y）是尺子在标记有“X”和“y”的点之间拉伸时所显示的数值。（然后探险家必须用这些数字来绘制一张X的图表。）

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